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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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1. Hallar el dominio, la imagen, los ceros, los intervalos de positividad y de negatividad y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de $f$. Hacer un gráfico de
c) $f(x)=\frac{3 x+5}{x+1}$

Respuesta

$f(x) = \frac{3x+5}{x+1}$

Dominio:

$x+1\neq0$ $x\neq-1$
• $Dom\ f: \mathbb{R} -{-1}$ Asíntotas Horizontales:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x+5}{x+1} = \frac{\infty}{\infty}$
  Salvamos la indeterminación: $\lim_{x \to \infty} \frac{x( \frac{3x}{x}+\frac{5}{x})}{x(\frac{x}{x}+\frac{1}{x})}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{ 3+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{3}{1} = 3$ 
• Hay A.H. en $y=3$ 
Imagen: $Im\ f: \mathbb{R} -\{AH\}$
 • Im $f$: $\mathbb{R} - \{3\}$.
Asíntotas Verticales:
 $\lim_{x\rightarrow-1}\frac{3x+5}{x+1} = \infty$ 
• Hay A.V. en $x=-1$


Conjunto de ceros:  

$f(x)=0$ $\frac{3x+5}{x+1}=0$ $3x+5=0$

$x=-\frac{5}{3}$

• $C^0 = \left\{-\frac{5}{3}\right\}$ 


Conjuntos de positividad y negatividad: Es necesario hacer el análisis de signos mediante Bolzano, en base al $Dom f$ y al $C^0$.

• $C^{+}= \left(-\infty ; -\frac{5}{3}\right) \cup \left(-1 ; +\infty\right)$ • $C^{-}= \left(-\frac{5}{3} ; -1\right)$



TIP: Para graficar primero marcá las asíntotas y el conjunto de ceros. Luego evaluá los límites laterales y marcá a donde tiende la función. ¡Y listo! Si tenés dudas sobre ésto mirá el video de funciones homográficas.

• Límites Laterales $\lim_{x\rightarrow-1^{-}}\frac{3x+5}{x+1} = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\frac{3x+5}{x+1} = +\infty$

 
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Avatar Abigail 29 de septiembre 17:13
Profe si hago c+- en bolzano seria empezando desde -○○ hasta mas infinito, no?
Y en bolzano de logaritmos sería dependiendo el dominio desde donde es? Si es desde (-infinto;3) por ejemplo, como empezaría?
Avatar Julieta Profesor 30 de septiembre 16:33
@Abigail Excelente pregunta Abi. La respuesta es que para hacer Bolzano necesitas: 
1) El dominio de la función
2) El conjunto de ceros o raíces de la función

En una lineal, exponencial, cuadrática, polinómica, el dominio son todos los reales, así que es (-inf, +inf).
En una homográfica el dominio va de -(inf, AV) U (AV, +inf).
En un logaritmo, depende de qué tenga dentro del argumento, pero si es solo logaritmo considerás ese único intervalo que puede ir desde ( -inf, a) o que puede ir de (a,+inf). 

Esto no es algo que tengas que memorizar, sale solo una vez que calculas el dominio de la función. 

Una vez que tenés el dominio de la función, ese o esos intervalo/s los tenés que separar donde tengas la raíz, para luego evaluar si la función es positiva o negativa dentro de esos rangos. 

Avatar camila 26 de septiembre 12:51
hola profe! una pregunta, hace falta hacer bolzano si yo hago un grafico aproximado y ya puedo ver como son los conjuntos de + y - ?
Avatar Julieta Profesor 30 de septiembre 16:29
@camila No, siempre que muestres el gráfico.
Avatar Mallo 16 de septiembre 21:50
profe, no entiendo como simplificaste cuando salvas la indeterminacion, no habria que cancelar las dos x que estan afuera de los parentesis, y luego las dos x que estan debajo de 3sobre x y 1 sobre x? porque yo intente hacerlo asi y me queda 3+3 y 1+1

Avatar Julieta Profesor 19 de septiembre 13:04
@Mallo Hola! Hice todo en un paso, pero ahora lo desarrollé en dos para que se entienda mejor. 
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